楕円の面積が 「πab 」になることを媒介変数表示で証明

こんにちは。

プロ家庭教師の鈴木です。

私はこれまで10年以上、中学受験・高校受験・大学受験を目指す生徒を中心に、「数学が苦手な理系生徒」を数多く指導してきました。

その中で強く感じていることがあります。

■ 数学が伸びない本当の理由

多くの生徒が、

・公式を覚えるだけ

・解き方を暗記するだけ

・AIに聞いて理解した気になる

この状態で止まっています。

しかし数学は本来、「なぜそうなるのか」を理解する教科です。

今回のテーマ：「楕円の面積」

楕円の面積は$$\pi ab$$

と習いますが、なぜそうなるか説明できますか？

今回は

✔ 数学が苦手な人でも分かるように
✔ 媒介変数表示と積分を使って
✔ 本質から理解できるように

解説していきます。

楕円の面積はこうして求まる

楕円$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

の面積は$$\pi ab$$

になります。

いきなり求めるその前に・・・

いきなり全部やろうとすると難しいので、「半分だけ考えること」がコツです。

① 上半分だけ考える（y ≥ 0）

楕円の上半分のみを考えると、その面積は$$\text{上半分} = \int_{-a}^{a} y \, dx$$となります。

これは「ｙ＝ｆ（ｘ）」と微小区間「ｄｘ」との積を、「−aからaまで寄せ集める」という意味です。

② 媒介変数表示を使う

楕円は次のように表せます：$$x = a \cos t, \quad y = b \sin t$$

ただし、一般的にはｔの範囲は０から２πまでとします。

それだけで事足りますからね。

③ tの範囲に注意

ただ、そうは言っても、今ここでは上半分のみの話をしているので、上半分はそのうち、

$$0 \le t \le \pi$$

にあたる部分です。

④ ここが最大のポイント（超重要）

$$x = a\cos t$$

なので

$t = 0$→ $x = a$

$t = \pi$→ $x = -a$

つまり、tが増えると、xは逆に動くということになります。

単位円も、角度が増加するごとに、半時計まわりに単位円上の点が動くので、ｘ座標は減少しますよね。

楕円の動きも、実はこれに対応します。

なぜ積分区間が「π→0」になるのか？

元の積分は$$\int_{-a}^{a} y\,dx$$

であり、x軸上では「左→右」へと積分するという意味を持っていますが、媒介変数では、ｔ軸上では「右→左」へと変化するという意味を持っています。

ですので、

$$\int_{-a}^{a} y\,dx = \int_{\pi}^{0} y \frac{dx}{dt} dt$$

になります。

⑤ 積分区間の向きを直す

定積分の際、実際に計算すると

$$\int_{\pi}^{0} = -\int_{0}^{\pi}$$

ということになりますが、これは直感的には、「右から左を引く」というこことだったのが「左から右を引く」という操作に変わったことを意味します。

⑥ 置換積分による計算

$$\frac{dx}{dt} = -a \sin t$$$$y \frac{dx}{dt} = -ab \sin^2 t$$

となりますが、ここで少し説明を加えると、もともと「ｙはｘの関数として積分する」という話だったのが、「ｘにｔの関数」を代入したことにより、「ｙもｔの関数になった」というふうに捉えられます。

これはまさしく、「ｙの媒介変数表示」を意味するので、上の式の「ｙ」が「ｂsinｔになった！」という話なのですね。

なので

$$\text{面積（上半分）} = \int_{0}^{\pi} ab \sin^2 t \, dt$$となります。

⑦ 積分しよう！

$$\int_0^{\pi} \sin^2 t \, dt = \frac{\pi}{2}$$

この計算には、三角関数の公式を使うことになります。

$$\sin^2 t = \frac{1 – \cos 2t}{2}$$

なのですが、使いこなせていますか？

このおかげで、積分は

$$\int_0^{2\pi} \sin^2 t \, dt = \int_0^{2\pi} \frac{1 – \cos 2t}{2} dt$$$$= \frac{1}{2} \left[ \int_0^{2\pi} 1\,dt – \int_0^{2\pi} \cos 2t\,dt \right]$$

$$\int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi$$$$\int_0^{2\pi} \cos 2t\,dt = 0$$

よって$$= \frac{1}{2} \times 2\pi = \pi$$

$$\text{上半分} = \frac{\pi ab}{2}$$となります。

ということで、全体の面積は

$$\text{面積} = \pi ab$$

となります。

まとめ（重要ポイント）

この問題の本質は3つです。

① 半分で考える

→ 複雑な問題をシンプルにする

② 媒介変数を使う

→ 図形を計算に変える

③ 向き（符号）を理解する

→ ここができると一気に伸びる

数学が苦手な人へ

この問題で一番大事なのは、計算力、「動きのイメージ」です。

・cosは右から左へ動く

・だから積分区間が逆になる

これが理解できると、媒介変数の問題も得意になります！

最後に（重要メッセージ）

ここまで読んで、「なんとなく分かった」「でも自分では解けない」と感じた方へ、ご案内です。

私はこれまで、

• 偏差値30台 → 60台
• 数学が苦手 → 得意科目へ

という生徒を多く見てきました。

その共通点は一つです。

正しい理解の積み重ねです。

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